Définition
\(\triangleright\) Définition de la norme
La norme, \(||x||\), est une valeur positive et qui donne une valeur caractéristique de \(x\).
Caractéristiques
\(\triangleright\) Caractéristiques de la norme
Soit \(E\subset\Bbb R\)- \(||x||=0\implies {{x=0_E}}\)
- \(||\lambda.x||={{|\lambda|.||x||}}\)
- \(||x+y||\leq{{||x||+||y||}}\)
\(\triangleright\) Espace vectoriel normé
On note \((E, ||.||)\) l'espace vectoriel normé.
\(\triangleright\) Norme en espace à n-dimensions
- \(||x||_1={{\sum_{i=1}^n|x_i|}}\)
- \(||x||_2={{\sqrt\sum_{i=1}^nx_i^2}}\)
- \(||x||_\infty={{\underset{i=1,n}{max}(|x_i|)}}\)
\(||.||_2\) est bien une norme:
$$||x+y||^2=\sum_{i=1}^nx_i^2+\sum_{i=1}^ny_i^2+2\sum_{i=1}^nx_iy_i$$
$$||x||^2+||y||^2+2 \braket {x|y}\quad\text{Cauchy-Schwartz}$$
$$\leq ||x||^2+||y||^2+||x||||y||$$
$$\leq (||x||+||y||^2)$$
